南京航空航天大学考研真题《高等代数》5套2018-2014

发布时间:2021-10-22 15:13:56

南京航空航天大学 科目代码: 科目名称: 2018 年硕士研究生入学考试初试试题( A 卷 ) 814 高等代数 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项;②所有答案必须写在答题纸上,写在本试题纸或草稿纸上均无 效;③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回! 一、(15 分)设多项式 f (x) ? x4 ? 2x3 ? 3x2 ? ax ? b ,且 x2 ? x ? 2 | f (x) ,这里符号“|”表示多 项式的整除. 1.求 a, b 的值; 2.若 f (x) 是 4 阶矩阵 A 的特征多项式,求 A 的全部特征值; 3.若 x2 ? x ? 2 是 A 的最小多项式,证明: 秩(A ? E) ? 秩(A ? 2E) ? n ,这里 E 是单位矩阵, 以下各题相同. 二、(15 分) 设V1 是由向量组?1 ? (1, 1, a)T , ?2 ? (?2, a, 4)T , ?3 ? (?2, a, a)T 生成的 R3 的子 空间, V2 是由向量组 ?1 ? (1, 1, a)T , ?2 ? (1, a, 1)T , ?3 ? (a, 1, 1)T 生成的 R3 的另一个子空间, 这里“T ”表示转置,以下各题相同. 1.若 dim(V1) ? 2 ,求 a 的值; 2.若V1 不是V2 的子空间,求 a 的值; 3.证明: R3 ? V1 ? V2 . 三、(20 分)设 A 是 m? n 实矩阵. 1.证明对任意 n 维列向量 ? ,方程组 AT AX ? AT ? 都有解; 2.证明 AT AX ? AT ? 有唯一解的充分必要条件是秩 (A) ? n ; ? 1 1 1?a? ?0? ? ? ? ? 3.若 A ? ? 1 0 a ?, ? ? ? 1 ? ,且 AX ? ? 无解,求 AT AX ? AT ? 的模(长度)最 ?? a ?1 1 a ?1?? ?? 2a ? 2?? 小的特解. 科目代码:814 科目名称:高等代数 第 1 页 共 3 页 四、(20 分) 设 R3 的线性变换 ? 在基 ?1 ? (1, 0, 0)T , ? 2 ? (1, 1, 0)T , ?3 ? (1, 1, 1)T 下的矩阵是 ?? 2 1 2 ? a ?? A ? ??3 ? 2 a ? 2?. ?? 1 1 1 ?? 1.求 ? 在基?1 ? (1, 0, 0)T , ?2 ? (0, 1, 0)T , ?3 ? (0, 0, 1)T 下的矩阵 B ; 2.若 ? 有三个线性无关的特征向量,求 a 的值; 3.若? ? (2, 3, ? 2)T 是 ? 的一个特征向量,证明 A 不能与对角矩阵相似,并求 A 的 Jordan 标准形. 五、(20 分) 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和为零,二次型 f (X ) ? X T A X 经正交变换 X ? PY 化为 6 y22 ? 6 y32 ,其中 X ? (x1, x2 , x3 )T , Y ? ( y1, y2 , y3 )T . 1.求矩阵 A 的全部特征值; 2.求正交矩阵 P ; 3.求矩阵 A . 六、(20 分) 设 A 与 B 是两个 n 阶实幂等矩阵(即 A2 ? A, B2 ? B ),且 AB ? BA ,证明: 1.若 AT ? A 且V ? {x ? Rn | Ax ? x},则V 的正交补为V ? ? {y ? Rn | Ay ? 0} ; 2.存在可逆矩阵 P1 ,使得 P1?1 AP1 ? ???? Er 0 00???? ,其中 r 是矩阵 A 的秩; 3.存在可逆矩阵 P ,使得 P?1 AP 与 P?1BP 同时为对角矩阵. 七、(20 分) 设 m(?) 是 n 阶矩阵 A 的最小多项式, f (?) 是一个次数大于零的多项式,证明: 1.如果 f (?) | m(?) ,则 f (A) 不可逆; 2.设 d(?) 是 f (?) 与 m(?) 的一个最大公因式,则秩 ( f (A)) ? 秩 (d(A)) ; 3. f (A) 非奇异的充分必要条件是 f (?) 与 m(?) 互素. 科目代码:814 科目名称:高等代数 第 2 页 共 3 页 八、(20 分) 设 A, B 都是 n 阶正定矩阵,证明: 1.多项式方程 ?A ? B ? 0 的根都是正数; 2.设 ?1, ?2 , ?, ?n 是方程 ?A ? B ? 0 的 n 个根,则存在可逆矩阵 P ,使得 P?1 A?1BP ? diag(?1, ?2 , ?, ?n ); 3. A ? B 的充分必要条件是方程 ?A ? B ? 0 的根都是 1. 科目代码:814 科目名称:高等代数 第 3 页 共 3 页 南京航空航天大学 科目代码: 科目名称: 2017 年硕士研究生入学考试初试试题( A 卷 ) 814 高等代数 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项;②所有答案必须写在答题纸上,写在本试题纸或草稿纸上均无 效;③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回! 一、(15 分)设 4 阶矩阵 A 的特征多项式是 f (x) = x 4 ? 5x3 + 5x2 + ax + b ,且 x2 ?1 | f (x) , 这里“|”表示多项式的整除. 1.求 a, b 的值; 2.求 A 的全部特征值; 3.问: x2 ?1是否有可能成为矩阵 A 的最小多项式?并说明理由. 二、(15 分) 设V1 是由向量组α1 = (1, 0, 2)T , α 2 = (2, 1, 1)T , α3 = (3, a, 3)T 生成的 R3 的一个 2 维子空间(这里“T ”表示转置,以下各题相同). 1.求 a 的值; 2.求V1 的正交补V1⊥ 的维数和基; 3.若V2 是由向量组 β1 =

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